Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 5 & - 10 & - 5 2 & 14 & 2 - 4 & - 8 & 6 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 5 & - 10 & - 5 \\ 2 & 14 & 2 \\ - 4 & - 8 & 6 \end{array}]$

Étape 1

Consider the corresponding sign chart.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Étape 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Calculate the minor for element

a_{11}

$a_{11}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 14 & 2 - 8 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 14 & 2 \\ - 8 & 6 \end{array} |$

Étape 2.1.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{11} = 14 \cdot 6 - (- 8 \cdot 2)

$a_{11} = 14 \cdot 6 - (- 8 \cdot 2)$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1.1

Multipliez

14

$14$ par

6

$6$ .

a_{11} = 84 - (- 8 \cdot 2)

$a_{11} = 84 - (- 8 \cdot 2)$

Étape 2.1.2.2.1.2

Multipliez

- (- 8 \cdot 2)

$- (- 8 \cdot 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1.2.1

Multipliez

- 8

$- 8$ par

2

$2$ .

a_{11} = 84 - - 16

$a_{11} = 84 - - 16$

Étape 2.1.2.2.1.2.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 16

$- 16$ .

a_{11} = 84 + 16

$a_{11} = 84 + 16$

a_{11} = 84 + 16

$a_{11} = 84 + 16$

a_{11} = 84 + 16

$a_{11} = 84 + 16$

Étape 2.1.2.2.2

Additionnez

84

$84$ et

16

$16$ .

a_{11} = 100

$a_{11} = 100$

a_{11} = 100

$a_{11} = 100$

a_{11} = 100

$a_{11} = 100$

a_{11} = 100

$a_{11} = 100$

Étape 2.2

Calculate the minor for element

a_{12}

$a_{12}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 2 - 4 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 2 \\ - 4 & 6 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{12} = 2 \cdot 6 - (- 4 \cdot 2)

$a_{12} = 2 \cdot 6 - (- 4 \cdot 2)$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.1

Multipliez

2

$2$ par

6

$6$ .

a_{12} = 12 - (- 4 \cdot 2)

$a_{12} = 12 - (- 4 \cdot 2)$

Étape 2.2.2.2.1.2

Multipliez

- (- 4 \cdot 2)

$- (- 4 \cdot 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.2.1

Multipliez

- 4

$- 4$ par

2

$2$ .

a_{12} = 12 - - 8

$a_{12} = 12 - - 8$

Étape 2.2.2.2.1.2.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 8

$- 8$ .

a_{12} = 12 + 8

$a_{12} = 12 + 8$

a_{12} = 12 + 8

$a_{12} = 12 + 8$

a_{12} = 12 + 8

$a_{12} = 12 + 8$

Étape 2.2.2.2.2

Additionnez

12

$12$ et

8

$8$ .

a_{12} = 20

$a_{12} = 20$

a_{12} = 20

$a_{12} = 20$

a_{12} = 20

$a_{12} = 20$

a_{12} = 20

$a_{12} = 20$

Étape 2.3

Calculate the minor for element

a_{13}

$a_{13}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 14 - 4 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 14 \\ - 4 & - 8 \end{array} |$

Étape 2.3.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{13} = 2 \cdot - 8 - (- 4 \cdot 14)

$a_{13} = 2 \cdot - 8 - (- 4 \cdot 14)$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1.1

Multipliez

2

$2$ par

- 8

$- 8$ .

a_{13} = - 16 - (- 4 \cdot 14)

$a_{13} = - 16 - (- 4 \cdot 14)$

Étape 2.3.2.2.1.2

Multipliez

- (- 4 \cdot 14)

$- (- 4 \cdot 14)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1.2.1

Multipliez

- 4

$- 4$ par

14

$14$ .

a_{13} = - 16 - - 56

$a_{13} = - 16 - - 56$

Étape 2.3.2.2.1.2.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 56

$- 56$ .

a_{13} = - 16 + 56

$a_{13} = - 16 + 56$

a_{13} = - 16 + 56

$a_{13} = - 16 + 56$

a_{13} = - 16 + 56

$a_{13} = - 16 + 56$

Étape 2.3.2.2.2

Additionnez

- 16

$- 16$ et

56

$56$ .

a_{13} = 40

$a_{13} = 40$

a_{13} = 40

$a_{13} = 40$

a_{13} = 40

$a_{13} = 40$

a_{13} = 40

$a_{13} = 40$

Étape 2.4

Calculate the minor for element

a_{21}

$a_{21}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

The minor for

a_{21}

$a_{21}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 10 & - 5 - 8 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 10 & - 5 \\ - 8 & 6 \end{array} |$

Étape 2.4.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{21} = - 10 \cdot 6 - (- 8 \cdot - 5)

$a_{21} = - 10 \cdot 6 - (- 8 \cdot - 5)$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.1

Multipliez

- 10

$- 10$ par

6

$6$ .

a_{21} = - 60 - (- 8 \cdot - 5)

$a_{21} = - 60 - (- 8 \cdot - 5)$

Étape 2.4.2.2.1.2

Multipliez

- (- 8 \cdot - 5)

$- (- 8 \cdot - 5)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.2.1

Multipliez

- 8

$- 8$ par

- 5

$- 5$ .

a_{21} = - 60 - 1 \cdot 40

$a_{21} = - 60 - 1 \cdot 40$

Étape 2.4.2.2.1.2.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

40

$40$ .

a_{21} = - 60 - 40

$a_{21} = - 60 - 40$

a_{21} = - 60 - 40

$a_{21} = - 60 - 40$

a_{21} = - 60 - 40

$a_{21} = - 60 - 40$

Étape 2.4.2.2.2

Soustrayez

40

$40$ de

- 60

$- 60$ .

a_{21} = - 100

$a_{21} = - 100$

a_{21} = - 100

$a_{21} = - 100$

Étape 2.5

Calculate the minor for element

$a_{22}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 5 \\ - 4 & 6 \end{array} |$

Étape 2.5.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 5 \cdot 6 - (- 4 \cdot - 5)$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1.1

Multipliez

$5$ par

$6$ .

$a_{22} = 30 - (- 4 \cdot - 5)$

Étape 2.5.2.2.1.2

Multipliez

$- (- 4 \cdot - 5)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1.2.1

Multipliez

$- 4$ par

$- 5$ .

$a_{22} = 30 - 1 \cdot 20$

Étape 2.5.2.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$20$ .

$a_{22} = 30 - 20$

Étape 2.5.2.2.2

Soustrayez

$20$ de

$30$ .

$a_{22} = 10$

Étape 2.6

Calculate the minor for element

$a_{23}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

The minor for

$a_{23}$ is the determinant with row

$2$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 10 \\ - 4 & - 8 \end{array} |$

Étape 2.6.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 5 \cdot - 8 - (- 4 \cdot - 10)$

Étape 2.6.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1.1

Multipliez

$5$ par

$- 8$ .

$a_{23} = - 40 - (- 4 \cdot - 10)$

Étape 2.6.2.2.1.2

Multipliez

$- (- 4 \cdot - 10)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1.2.1

Multipliez

$- 4$ par

$- 10$ .

$a_{23} = - 40 - 1 \cdot 40$

Étape 2.6.2.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$40$ .

$a_{23} = - 40 - 40$

Étape 2.6.2.2.2

Soustrayez

$40$ de

$- 40$ .

$a_{23} = - 80$

Étape 2.7

Calculate the minor for element

$a_{31}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 10 & - 5 \\ 14 & 2 \end{array} |$

Étape 2.7.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = - 10 \cdot 2 - 14 \cdot - 5$

Étape 2.7.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1.1

Multipliez

$- 10$ par

$2$ .

$a_{31} = - 20 - 14 \cdot - 5$

Étape 2.7.2.2.1.2

Multipliez

$- 14$ par

$- 5$ .

$a_{31} = - 20 + 70$

Étape 2.7.2.2.2

Additionnez

$- 20$ et

$70$ .

$a_{31} = 50$

Étape 2.8

Calculate the minor for element

$a_{32}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 5 \\ 2 & 2 \end{array} |$

Étape 2.8.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 5 \cdot 2 - 2 \cdot - 5$

Étape 2.8.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1.1

Multipliez

$5$ par

$2$ .

$a_{32} = 10 - 2 \cdot - 5$

Étape 2.8.2.2.1.2

Multipliez

$- 2$ par

$- 5$ .

$a_{32} = 10 + 10$

Étape 2.8.2.2.2

Additionnez

$10$ et

$10$ .

$a_{32} = 20$

Étape 2.9

Calculate the minor for element

$a_{33}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1

The minor for

$a_{33}$ is the determinant with row

$3$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 10 \\ 2 & 14 \end{array} |$

Étape 2.9.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 5 \cdot 14 - 2 \cdot - 10$

Étape 2.9.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1.1

Multipliez

$5$ par

$14$ .

$a_{33} = 70 - 2 \cdot - 10$

Étape 2.9.2.2.1.2

Multipliez

$- 2$ par

$- 10$ .

$a_{33} = 70 + 20$

Étape 2.9.2.2.2

Additionnez

$70$ et

$20$ .

$a_{33} = 90$

Étape 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the

$-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 100 & - 20 & 40 \\ 100 & 10 & 80 \\ 50 & - 20 & 90 \end{array}]$

Étape 3

Transpose the matrix by switching its rows to columns.

$[\begin{array}{c} 100 & 100 & 50 \\ - 20 & 10 & - 20 \\ 40 & 80 & 90 \end{array}]$